अंक प्रणाली - Number System

एक अंक प्रणाली (या संख्यान की प्रणाली ) एक है लेखन प्रणाली संख्याओं को व्यक्त करने के लिए; कि, एक है गणितीय संकेतन का प्रतिनिधित्व करने के लिए संख्या , किसी दिए गए सेट का उपयोग करते हुए अंक एक सुसंगत तरीके से या अन्य प्रतीक। यह संदर्भ है कि प्रतीकों "11" के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता के रूप में देखा जा सकता है द्विआधारी के लिए प्रतीक तीन , दशमलव के लिए प्रतीक ग्यारह , या अलग अलग की अन्य संख्याओं के लिए एक प्रतीक ठिकानों।

संख्या अंक का प्रतिनिधित्व करता है अपने मूल्य कहा जाता है।

आदर्श रूप में, एक अंक प्रणाली होगा:

• संख्या का एक उपयोगी सेट (उदाहरण के लिए सभी का प्रतिनिधित्व करते हैं पूर्णांकों , या तर्कसंगत संख्याओं )
• हर संख्या का प्रतिनिधित्व एक अनूठा प्रतिनिधित्व दें (या कम से कम एक मानक प्रतिनिधित्व)
• संख्याओं के बीजीय और गणित संरचना को दर्शाते हैं।

उदाहरण के लिए, सामान्य दशमलव संपूर्ण संख्या का प्रतिनिधित्व हर अशून्य पूर्ण संख्या एक के रूप में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व करता है परिमित अनुक्रम के अंक , एक अशून्य अंकों के साथ शुरुआत। हालांकि, जब दशमलव प्रतिनिधित्व के लिए प्रयोग किया जाता है तर्कसंगत या वास्तविक संख्या, सामान्य रूप में इस तरह की संख्या अभ्यावेदन की एक अनंत संख्या है, उदाहरण के 2.31 भी लिखा जा सकता है के लिए 2.310, २.३१,००,०००, २.३०,९९,९९,९९९ ..., आदि, जो सभी के लिए है के रूप में कुछ वैज्ञानिक और अन्य संदर्भों जहां अधिक से अधिक परिशुद्धता दिखाया आंकड़े का एक बड़ा संख्या से निहित है के अलावा एक ही अर्थ।

अंक प्रणाली कभी कभी कहा जाता है नंबर सिस्टम , लेकिन वह नाम, अस्पष्ट है के रूप में यह इस तरह की प्रणाली के रूप में संख्याओं के विभिन्न प्रणालियों, का उल्लेख कर सकते वास्तविक संख्या , की प्रणाली जटिल संख्याओं , की व्यवस्था पी -adic संख्या आदि, ऐसी प्रणालियों कर रहे हैं, हालांकि, इस लेख के विषय नहीं।

मुख्य अंक प्रणाली [ संपादित करें ]

मुख्य लेख: अंक प्रणाली की सूची

सबसे अधिक इस्तेमाल किया अंकों का सिस्टम है हिंदू-अरबी अंक प्रणाली । ^[1] दो भारतीय गणितज्ञों यह विकास का श्रेय दिया जाता है। आर्यभट्ट की Kusumapura विकसित स्थान-मूल्य अंकन 5 वीं शताब्दी में और एक सदी बाद ब्रह्मगुप्त के लिए प्रतीक शुरू की शून्य। अंक प्रणाली और शून्य की अवधारणा भारत में हिंदुओं द्वारा विकसित की है, धीरे-धीरे भारत के साथ अपने व्यावसायिक और सैन्य गतिविधियों की वजह से अन्य आसपास के देशों में फैल गया। अरबों अपनाया और इसे संशोधित। आज भी, अरबों अंकों के जो वे "Rakam अल-हिंद" या हिन्दू अंक प्रणाली का उपयोग कहते हैं। अरबों संख्या विज्ञान पर हिंदू ग्रंथों अनुवाद किया है और उनके साथ अपने व्यापारिक संबंधों की वजह से पश्चिमी दुनिया के लिए उन्हें फैल गया। पश्चिमी दुनिया के लिए उन्हें संशोधित और, उन्हें अरबी अंकों कहा जाता है के रूप में वे उन्हें अरबों से सीखा है। इसलिए वर्तमान पश्चिमी अंक प्रणाली भारत में विकसित हिन्दू अंक प्रणाली का संशोधित संस्करण है। यह भी संस्कृत देवनागरी अंकन, जो अभी भी भारत में और पड़ोसी नेपाल प्रयोग किया जाता है के लिए एक महान समानता दर्शाती है।

सबसे सरल अंक प्रणाली है एकल अंक प्रणाली , जिसमें हर प्राकृतिक संख्या प्रतीकों में से एक इसी नंबर का प्रतिनिधित्व करती है। प्रतीक हैं / चुन लिया जाता है, उदाहरण के लिए, तो सातवें नंबर के प्रतिनिधित्व किया जाएगा /////// । मिलान रेखाओं आम उपयोग में अभी भी ऐसे ही एक प्रणाली प्रतिनिधित्व करते हैं। हालांकि यह में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता एकल प्रणाली, कम संख्या के लिए ही उपयोगी है सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान । इलियास गामा कोडिंग , जो आमतौर पर इस्तेमाल किया जाता है डेटा संपीड़न , एक बाइनरी अंक की लंबाई इंगित करने के लिए एकल का उपयोग करके मनमाने ढंग से आकार संख्या व्यक्त करता है।

एकल अंकन कुछ नए मूल्यों के लिए विभिन्न प्रतीकों शुरू करने से संक्षिप्त जा सकता है। बहुत सामान्य, इन मूल्यों को 10 की शक्तियों कर रहे हैं; तो उदाहरण के लिए, / एक के लिए खड़ा है, - दस के लिए + 100 के लिए है, तो संख्या 304 दृढ़तापूर्वक दर्शाया जा सकता है के रूप में +++ //// और संख्या 123 के रूप में + - - /// शून्य के लिए किसी भी आवश्यकता के बिना । यह कहा जाता है साइन-मूल्य अंकन । प्राचीन मिस्र के अंक प्रणाली इस प्रकार के थे, और रोमन अंक प्रणाली इस विचार का एक संशोधन किया गया था।

अधिक उपयोगी अभी भी व्यवस्था है जो प्रतीकों में से पुनरावृत्ति के लिए विशेष संक्षिप्त रूपों को रोजगार रहे हैं; उदाहरण के लिए, इन संक्षिप्त रूपों के लिए वर्णमाला के पहले नौ अक्षरों का प्रयोग कर, "एक घटना", बी "दो घटनाओं" के लिए एक खड़ा है, और इतने पर के साथ, एक तो लिख सकता है सी + डी / संख्या 304 के लिए इस प्रणाली को प्रयोग किया जाता है जब लेखन चीनी अंकों के एवं अन्य पूर्वी एशियाई चीनी के आधार पर अंकों के। की संख्या प्रणाली अंग्रेजी भाषा इस प्रकार के है ( "तीन सौ [और] चार"), के रूप में अन्य बोली जाने वाली के हैं भाषाओं परवाह किए बिना वे क्या लिखा प्रणाली को अपनाया है की,। हालांकि, कई भाषाओं अड्डों के मिश्रण, और अन्य सुविधाओं का उपयोग करें,pedwar ar bymtheg एक thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) या (कुछ पुरातन) pedwar ugain namyn संयुक्त राष्ट्र ( 4 × 20 - 1 )। अंग्रेजी में, एक कह सकते हैं "चार कम एक अंक", प्रसिद्ध में के रूप में Gettysburg पता अभिव्यक्त करने वाले "87 साल पहले" के रूप में "चार स्कोर और सात साल पहले"।

अधिक सुरुचिपूर्ण एक है स्थितीय प्रणाली , भी स्थान-मूल्य अंकन के रूप में जाना। फिर आधार 10 में काम कर रहे, दस अलग अंक 0, ..., 9 उपयोग किया जाता है और एक अंकों की स्थिति में के रूप में, दस की शक्ति है कि अंकों के साथ गुणा किया जा रहा है सूचित करने के लिए प्रयोग किया जाता है 304 = 3 × 100 + 0 × 10 4 × 1 या अधिक सटीक 3 × 10 ² + 0 × 10 ¹ 4 × 10 ⁰ । ध्यान दें कि शून्य है, जो अन्य प्रणालियों की जरूरत है नहीं, यहां महत्वपूर्ण महत्व का है, क्रम में एक शक्ति "छोड़" करने में सक्षम हो। हिंदू-अरबी अंक प्रणाली है, जो भारत में जन्म लिया है और अब दुनिया भर में प्रयोग किया जाता है, एक स्थितीय आधार 10 प्रणाली है।

अंकगणित पहले additive लोगों की तुलना में स्थितीय प्रणाली में बहुत आसान है; इसके अलावा, additive सिस्टम 10 के विभिन्न शक्तियों के लिए विभिन्न प्रतीकों की एक बड़ी संख्या की जरूरत है; एक स्थितीय प्रणाली केवल दस विभिन्न प्रतीकों (यह मानते हुए कि यह आधार 10 का उपयोग करता है) की जरूरत है।

स्थितीय दशमलव प्रणाली वर्तमान में सार्वभौमिक मानव लिखित रूप में प्रयोग किया जाता है। आधार -1000 भी प्रयोग किया जाता है (नहीं सार्वभौमिक यद्यपि), अंक समूहीकरण और एक एकल अंकों के रूप में तीन दशमलव अंक के अनुक्रम पर विचार करके। यह आम अंकन १०००२३४५६७ बहुत बड़ी संख्या के लिए इस्तेमाल का अर्थ है।

में कंप्यूटर , मुख्य अंक प्रणाली आधार 2 (में स्थितीय प्रणाली पर आधारित होते हैं बाइनरी अंक प्रणाली दो के साथ), बाइनरी अंकों , 0 और 1. स्थितीय प्रणाली तीन (द्वारा समूहीकरण बाइनरी अंकों द्वारा प्राप्त अष्टाधारी अंक प्रणाली ) या चार ( हेक्साडेसिमल अंक प्रणाली ) आमतौर पर इस्तेमाल किया जाता है। बहुत बड़ी पूर्णांकों, अड्डों के लिए 2 ³² या 2 ⁶⁴ (32 या 64 से बाइनरी अंकों समूहीकरण, की लंबाई मशीन शब्द ) उपयोग किया जाता है, के रूप में, उदाहरण के लिए, में जीएमपी ।

इस्तेमाल किया जब अंक या प्रतीकों के साथ नंबर लिख अंकों के दो प्रकार है कि कहा जा सकता है में विभाजित किया जा सकता है गणित के अंकों (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) और ज्यामितीय अंकों (1 , 10, 100, 1000, 10000 ...), क्रमशः। साइन-मूल्य प्रणाली केवल ज्यामितीय अंकों का प्रयोग और स्थितीय प्रणाली केवल गणित के अंकों का उपयोग करें। साइन-मूल्य प्रणाली गणित के अंकों की जरूरत नहीं है, क्योंकि वे पुनरावृत्ति (के अलावा द्वारा बनाई गई हैं ईओण प्रणाली ), और एक स्थितीय प्रणाली ज्यामितीय अंकों की जरूरत नहीं है, क्योंकि वे स्थिति से बनते हैं। हालांकि, बोली जाने वाली भाषा का उपयोग दोनों गणित और ज्यामितीय अंकों के।

कंप्यूटर विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में, एक संशोधित आधार कश्मीर स्थितीय प्रणाली, प्रयोग किया जाता है कहा जाता है द्विभाजित संख्यान अंक 1, 2 के साथ,, ..., कश्मीर ( k ≥ 1 ), और शून्य एक रिक्त स्ट्रिंग से प्रतिनिधित्व किया जा रहा। यह एक स्थापित करता द्विभाजन ऐसे सभी अंकों-तार के सेट और गैर नकारात्मक पूर्णांक के सेट के बीच, गैर विशिष्टता अग्रणी शून्य की वजह से परहेज। द्विभाजित base- कश्मीर संख्यान भी कहा जाता है कश्मीर -adic अंकन, साथ भ्रमित होने की नहीं पी -adic संख्या । द्विभाजित आधार 1 एकल के समान है।

विस्तार से स्थितीय प्रणाली [ संपादित करें ]

यह भी देखें: स्थितीय अंकन

एक स्थितीय आधार में ख अंक प्रणाली (के साथ ख एक प्राकृतिक संख्या 1 से अधिक के रूप में जाना मूलांक ,) ख बुनियादी चिन्हों (या अंक) पहले करने के लिए इसी ख शून्य सहित प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया जाता है। अंकों के के बाकी उत्पन्न करने के लिए चित्र में प्रतीक की स्थिति प्रयोग किया जाता है। अंतिम स्थिति में प्रतीक का अपना महत्व है, और के रूप में यह अपने मूल्य के लिए छोड़ दिया करने के लिए ले जाता है से गुणा किया जाता ख ।

उदाहरण के लिए, में दशमलव प्रणाली (आधार 10), अंक 4327 साधन ( 4 × 10 ³ ) + ( 3 × 10 ² ) + ( 2 × 10 ¹ ) + ( 7 × 10 ⁰ ) , यह देखते हुए कि 10 ⁰ = 1 ।

सामान्य में, अगर ख आधार है, एक आधार के अंक प्रणाली में एक नंबर लिखते हैं ख रूप में व्यक्त करने से एक _एन बी ^एन + एक _{n - 1} ख ^{n - 1} + एक _{n - 2} ख ^{n - 2} +। .. + एक ₀ बी ⁰ और प्रगणित अंक लेखन एक _एन एक _{n - 1} एक _{n - 2} ... एक ₀ अवरोही क्रम में। अंक 0 और के बीच प्राकृतिक संख्या है ख - 1भी शामिल हैं।

(इसी प्रकार के) एक पाठ कई ठिकानों पर चर्चा करता है, और अगर अस्पष्टता मौजूद है, आधार (ही आधार 10 में प्रतिनिधित्व) इस तरह नंबर के अधिकार के लिए सबस्क्रिप्ट में जोड़ा जाता है, तो: संख्या _आधार । संदर्भ द्वारा निर्दिष्ट किए जाने तक, सबस्क्रिप्ट बिना नंबर दशमलव माना जाता है।

दो समूहों में विभाजित करने के लिए अंक एक बिंदु का उपयोग करके, एक भी स्थितीय प्रणाली में अंशों लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, आधार 2 अंक 10.11 अर्थ है 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ + 1 × 2 ^-1 + 1 × 2 ^-2 = 2.75 ।

सामान्य तौर पर, आधार में संख्या ख प्रणाली के रूप में हैं:

$${\ Displaystyle (a_ {n} a_ {n-1} \ cdots a_ {1} a_ {0} {1} .c_ c_ {2} c_ {3} \ cdots) _ {ख} = \ राशि _ {कश्मीर = 0} ^ {n} a_ {k} ख ^ {कश्मीर} + \ राशि _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} ख ^ {- कश्मीर}}।

संख्या ख ^{कश्मीर} और ख ^{- कश्मीर} हैं वजन इसी अंकों की। स्थिति कश्मीर है लघुगणक इसी वजन के डब्ल्यू , वह यह है कि$${\ Displaystyle k = \ लॉग _ {b} w = \ लॉग _ {b} ख ^ {कश्मीर}}। उच्चतम प्रयुक्त स्थिति के करीब है परिमाण के क्रम संख्या के।

की संख्या मिलान रेखाओं में आवश्यक एकल अंक प्रणाली के लिए वजन का वर्णन किया गया होता डब्ल्यू । स्थितीय प्रणाली में, अंकों की संख्या यह केवल है का वर्णन करने के लिए आवश्यक$${\ Displaystyle k + 1 = \ लॉग _ {b} w + 1}, के लिए कश्मीर ≥ 0. उदाहरण के लिए, वजन 1000 तो चार अंक क्योंकि जरूरत है वर्णन करने के लिए$${\ Displaystyle \ लॉग _ {10} 1000 + 1 = 3 + 1}। के लिए आवश्यक अंक की संख्या स्थिति का वर्णन है$${\ Displaystyle \ लॉग _ {b} k + 1 = \ लॉग _ {ख} \ लॉग इन करें _ {b} w + 1} (पदों 1, 10, 100 में, ... केवल दशमलव उदाहरण में सादगी के लिए)।

${\displaystyle {\begin{array}{l|rrrrrrr}{\text{Position}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{Weight}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{Digit}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Decimal example weight}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Decimal example digit}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}}$

नोट एक नंबर एक समाप्त या दोहरा विस्तार किया है कि यदि और केवल यदि यह है तर्कसंगत ; इस आधार पर निर्भर नहीं करता। एक नंबर है कि एक आधार में समाप्त हो जाता है किसी अन्य रूप में दोहरा सकते हैं (इस प्रकार 0.3 ₁₀ = .0100110011001 ... ₂ )। एक अपरिमेय संख्या अनावधिक रहता है सब अभिन्न अड्डों में (गैर दोहराए जाने वाले अंकों की एक अनंत संख्या के साथ)। इस प्रकार, आधार 2 में उदाहरण के लिए, π = 3.1415926 ... ₁₀ के रूप में अनावधिक 11.001001000011111 ... लिखा जा सकता है ₂ ।

लाना overscores , एन , या डॉट्स, एन , आम अंक ऊपर एक सम्मेलन तर्कसंगत विस्तार दोहरा प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार:

14/11 = १.२७२७२७२७२७२७ ... = 1. 27   या 321.3217878787878 ... = 321.321 78 ।

यदि ख = पी एक है अभाज्य संख्या , एक base- परिभाषित कर सकते हैं पी अंकों जिसका विस्तार बाईं ओर कभी नहीं बंद हो जाता है; इन कहा जाता है पी -adic संख्या ।

सामान्यीकृत चर लंबाई पूर्णांकों [ संपादित करें ]

अधिक सामान्य एक उपयोग कर रहा है मिश्रित मूलांक संकेतन (यहाँ लिखा थोड़ा-endian ) की तरह$${\ Displaystyle a_ {0} a_ {1} a_ {2}} के लिये $${\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {1} b_ {2}}, आदि।

यह प्रयोग किया जाता है पनीकोड , जिनमें से एक पहलू 36 का एक संग्रह से, सीमांकक के बिना एक दृश्य के रूप में मनमाने ढंग से आकार के गैर नकारात्मक पूर्णांक के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व है "अंक" की: 0-9 a-z और क्रमश: 0-25 और 26-35 का प्रतिनिधित्व। एक अंकों एक सीमा मान से कम के निशान है कि यह सबसे-सार्थक अंक, इसलिए संख्या का अंत है। सीमा मूल्य संख्या में स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि पहले अंक के लिए सीमा मूल्य ख है (यानी 1) फिर एक (यानी 0) संख्या (यह सिर्फ एक अंक है) की समाप्ति का सूचक, एक से अधिक अंकों की संख्या में तो, सीमा केवल ख है -9 (1-35), इसलिए वजन ख ₁36. के बजाय 35 दहलीज मूल्यों मान लीजिए है दूसरे और तीसरे अंक के लिए सी हैं (2), फिर तीसरे अंकों एक वजन 34 × 35 = 1190 है और हम निम्न क्रम है:

एक (0), बा (1), सीए (2), .., 9a (35), बी बी (36), सीबी (37), .., 9b (70), बीसीए (71), .., 99A (1260), बीसीबी (1261), आदि

एक नियमित रूप से आधारित अंक प्रणाली के विपरीत, 9b जहां 9 और ख प्रत्येक का प्रतिनिधित्व करता है 35 की तरह नंबर दिए गए हैं; अभी तक प्रतिनिधित्व अद्वितीय है क्योंकि एसी और एसीए की अनुमति नहीं है - एक नंबर समाप्त होगा।

सीमा मूल्यों को चुनने में लचीलापन विभिन्न आकार के संख्या की घटना की आवृत्ति के आधार पर अनुकूलन की अनुमति देता है।

1 मेल खाती है के बराबर करने के लिए सभी सीमा मूल्यों के साथ मामले संख्यान द्विभाजित , जहां शून्य अंक जो कर रहे हैं गैर शून्य के साथ संख्या के विभाजक के अनुरूप हैं।

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